矩阵求逆

在使用卡尔曼滤波器方程的过程中，你还需要学习一种矩阵运算：逆矩阵。

特别是在计算卡尔曼滤波器增益矩阵 \mathbf{K} 时，你需要对 \mathbf{S} 矩阵进行求逆运算。上标符号 ^{-1} 表示逆矩阵。下面是卡尔曼滤波器增益方程的一个小提示，其中你可以看到对 S 求逆的必要性。

\mathbf{S_{k}} = \mathbf{H_{k}} \mathbf{P_{k|k-1}} \mathbf{H_{k}^T} + \mathbf{R_{k}}

\mathbf{K_{k}} = \mathbf{P_{k|k-1}} \mathbf{H_{k}^T} \mathbf{S_{k}}^{-1}

如上所述，矩阵 \mathbf{A} 的逆矩阵可以表示为 \mathbf{A^{-1}} 。

形式上，如果矩阵 \mathbf{A} 有逆矩阵，那么

\mathbf{A} \times \mathbf{A^{-1}} = \mathbf{A^{-1}} \times \mathbf{A} = \mathbf{I}

其中 \mathbf{I} 是一个单位矩阵。

只有方矩阵，即行数等于列数的矩阵，才具有逆矩阵。你可以看到，根据逆矩阵和单位矩阵的定义，这肯定是正确的。单位矩阵始终为方矩阵，因此

如果 \mathbf{A} 大小为 m x n，那么 \mathbf{A^{-1}} 大小必须为 n x m 才能得到 m x m 的方标识矩阵。

\mathbf{A^{-1}} \mathbf{A} 相乘得出 (n x m)(n x m) = n x m，只有 n = m，它才是一个方矩阵。

矩阵要具备逆矩阵，必须为方矩阵。同时，并非所有方矩阵都有逆矩阵。

在标量数学中，数字 x 的倒数是 1/x 。

标量乘以一个标量的倒数，结果为 1：

x \times \frac{1}{x} = 1

在线性代数中，逆矩阵与标量倒数相似：

\mathbf{A} \times \mathbf{A^{-1}} = \mathbf{I}

在本课前一部分，你已经学过，标识矩阵的功能和数字 1 类似。

在本堂课上，你需要学习计算 1x1 矩阵和 2x2 矩阵的逆矩阵。

矩阵越大，计算越复杂。Python 和 C ++ 都有能够计算矩阵的逆矩阵的库，例如 NumPy 库和 Eigen 库。

对于带有值为 a 的单个元素的 1 \times 1 矩阵，逆矩阵为 \frac{1}{a} 。

因此，

\begin{bmatrix}25\end{bmatrix} 的逆矩阵为

\begin{bmatrix}\frac{1}{25}\end{bmatrix} 。

假设有矩阵

\begin{bmatrix}a & b \\\ c & d\end{bmatrix}

这个 2 x 2 矩阵的逆矩阵为

\frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix}d & -b \\\ -c & a\end{bmatrix}

你可以看到，如果 ad = bc ，则该矩阵没有逆矩阵。

下面是 2x2 矩阵逆矩阵的另一个更为正式的公式：

\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\text{det }\mathbf{A}} \left[\left(\text{tr } \mathbf{A}\right) \mathbf{I} - \mathbf{A}\right]

其中

\text{det }\mathbf{A} 被称为矩阵的行列式。对于 2x2 矩阵，行列式为ad - bc。

\text{tr } \mathbf{A} 叫做矩阵轨迹。轨迹是跨主对角线的和，在本例中是 a + d。

如果把所有的元素相乘，最终会得出同样的方程，即：

\mathbf{A^{-1}} =\frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix}d & -b \\\ -c & a\end{bmatrix}

计算更大矩阵的逆矩阵需要相对复杂的矩阵代数理论。在本课中，你只需要计算 2×2 矩阵的逆矩阵。

你需要写一个函数来计算矩阵的逆矩阵。请记住，你需要检查矩阵的大小，因为 1x1 矩阵和 2x2 的公式不同。